第52章 我!陆时羡!宝刀未老
第一题是一道代数题,an是一道多项式之和,求证:当正整数n≥2时,a(n+1)<an。
刚看见这题的时候,陆时羡还有些没有思路,于是一下子就顿在那里了。
毕竟纯粹的代数题,非常考验人的逻辑联系思维能力。
难道连第一道证明题都做不出来?这已经是最简单的了。
陆时羡忽然紧张起来,如果连第一题都做不出来,绝对是对他后面题目解答的一个巨大打击。
他轻吐一口气,慢慢迫使自己平静下来。
越是紧张越不能着急。
陆时羡再次审题,忽然发现自己陷入了一个误区,证明这种比大小的题目,何必将其分别代入后再比呢?
他只需要转换一下思维方式。
a与b比大小也可以转换成a与b比差或者a与b比商。
如果a-b最后的结果大于零,或者a/b的结果大于1,那就可以说明a大于b.
想到这,陆时羡的眼睛越来越亮。
他在草稿纸上飞快地验算,对于an式,可以利用乘法分配律将n+1单独分离出来。
再得出对任意的正整数n≥2,an-a(n+1)最后的简化式。
最后证明简化式大于零。
故a(n+1)<an。
此题得证。
将这道题解决,陆时羡长松一口气,开始看下一题。
第二题是一道平面解析几何。
题目大意是对勾函数和一条直线得到的两个交点,然后求交点在对勾函数上两条切线的交点轨迹是多少?
不得不说,如果逻辑思维能力不够,光是看题目就足够让你看晕了。
不过说起来,这种题还是陆时羡的强项,他在数学里最擅长的就是将图形转化成代数。
无非就是求交点的坐标。
根据给出的条件联立方程组,由题意知,该方程在(0,+∞)上有两个相异的实根x1、x2,故k≠1,且Δ(1)式=1+4(k?1)>0,两个实根之和(2)式与之积(3)式都大于零。
由此可以得出直线的斜率k的取值范围,最后对对勾函数进行求导
化简得到直线l1和l2的方程(4)式和(5)式
(4)式-(5)式得xp的函数表达式(6)式
将(2)(3)两式代入(6)式得xp=2
(4)式+(5)式得yp的函数表达式(7)式
将(2)(3)的组合式代入(7)式得2yp=(3?2k)xp+2,而xp=2,得yp=4?2k
根据斜率k的取值范围2<yp<2.5
即点p的轨迹为(2,2),(2,2.5)两点间的线段(不含端点)
陆时羡写完这题,考试时间已经只剩下四十分钟了。
第二道大题还真的不难,思路很简单,就是计算过程有些复杂,同时也比较费时间,光这一个题目就花了他几十分钟。
来不及吐槽,陆时羡赶紧望向第三大题,
设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)。
求证:存在4个函数fi(x)(i=1,2,3,4)满足:
(1)对i=1,2,3,4,fi(x)是偶函数,且对任意的实数x,有fi(x+π)=fi(x);
(2)对任意的实数x,有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。
题目看起来非常简洁,可是陆时羡知道最后的解答过程是题目的数倍,可能还不止。
时间不多,陆时羡决定先解决第一题。
陆时羡用屁股想都明白,凡是跟圆周率π挨上边的基本上就跟周期函数挂钩了。
他直接策反了敌方f(x)两员大将的g(x)与h(x),且g(x)是偶函数,h(x)是奇函数,对任意的x∈r,g(x+2π)=g(x),h(x+2π)=h(x)。
然后分别代入四条函数fi(x),i=1,2,3,4。得到四条函数f1(x)、f2(x)、f2(x)、f4(x)的表达式。
故fi(x),i=1,2,3,4是偶函数,且对任意的x∈r,fi(x+π)=fi(x)。
这个倒是简单,极有限次数的验证只需要分别代入验证就行了,不费脑子。
陆时羡觉得只要次数在10以下,他都能接受,无非就是费点笔芯而已。
毕竟总比看半天题目无从下手的强。
不过此题好像还是给了参赛者一些余地,因为陆时羡发现第二问与第一问的关联很大。
将刚刚第一问得到的代数式代入f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x
接下来,分情况讨论就完事了。
因为f1(x)、f2(x)、f2(x)、f4(x)因为x的取值范围,从而存在6种情况。
其中有两种已经无需讨论,已经是从实招来。
还有四种情况依然负隅抵抗,陆时羡只好使出假设杀威棒。
最后它们终于被屈打成招,也因此证明了所有六种情况完全成立。
综上所述,此式成立得证!
陆时羡长吐一口气,再用余光看向周围时,诺大的教室居然只剩下他一个人。
他忽然心里一慌,时间还没结束啊,不会吧?
自己花这么大力气证明的题目,别人这么快就做完了?
是我老了提不动屠龙刀了,还是现在的小朋友太厉害?
他一抬头,就看着监考员直盯盯地望着他。
什么意思?是我让你失望了吗?
对不起我道歉,我承认我真的是个数学渣渣。
他颇为忧郁地起身交卷,然后收拾行李,准备离开这个伤心地。
可没想到当他离开的时候,背后传来监考员的赞叹声。
“哎呦,不错哦!这个考场的人早就放弃提前走了,只有你还在默默坚持。”
陆时羡:????
“不管对错,你能做完,也不愧我盯你一个人盯了一个小时了。”
陆时羡:ε?(?>灬<)?з
陆时羡本来低潮的心情又渐渐回升起来。
这意思好像是我还算可以,宝刀未老啊!
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